NÚMEROS E ESOTERISMO – PARTE I: 

TETRAKTYS PITAGÓRICA E DELTA MAÇÔNICO

Tanto os antigos rituais como as mais antigas constituições maçônicas afirmam conjuntamente que a Maçonaria tem como finalidade o aperfeiçoamento do homem. Também os antigos Mistérios Clássicos tinham o mesmo objetivo e conferiam a “teletè”, ou seja, a perfeição iniciática. Esse termo técnico era, de acordo com o pitagórico Plutarco, etimologicamente associado a três significados: fim, morte e perfeição. Um manuscrito, achado pelo Locke em 1696, enuncia expressamente a existência de uma relação entre a Maçonaria e a Escola Itálica fundada por Pitágoras mais de 25 séculos atrás. As mesmas Constituições de Anderson mencionam Pitágoras e o manuscrito de Cooke afirma ser a Maçonaria a parte principal da geometria. Fica, portanto, comprovado que a arte geométrica da Maçonaria deriva, direta ou indiretamente, da geometria e aritmética pitagórica.

Pitágoras (580-490 a.C.), discípulo dos mestres do Egito, da Grécia e da Caldéia, afirmava que a aritmética e a geometria não ficavam confinadas apenas no mundo da lógica. Muito pelo contrário, religião, moral, política, música, física, etc. unificavam-se no espírito cosmológico de uma autêntica teologia racional. Em particular, a geometria era a ciência que tinha por objeto o estudo do cosmo sob o aspecto da posição e da estensão. A aritmética era a ciência do ritmo, do número, do tempo, do intervalo, e o pitagórico Arquitas discriminava entre um tempo físico e um tempo psíquico.

Os números não eram considerados apenas em suas propriedades abstratas, mas também, e principalmente, em suas dimensões simbólicas, psicológicas, metapsíquicas e esotéricas. Portanto os números representavam as virtudes intrínsecas e efetivas do Grande Arquiteto do Universo, gerador e garantidor da ordem e da harmonia cósmica . Para os adeptos da Escola Itálica o um, a unidade (mônade), não era um verdadeiro “número”, mas o princípio gerador de todos os números. Analogamente o dois (díade) era tido como o gerador de todos os números pares. O primeiro verdadeiro número, o três (tríade), surgia da interação entre a mônade e a díade. Assim, todos os demais números podiam ser obtidos por simples adição a partir da unidade, criando assim uma progressão linear de números inteiros.

Todavia, a partir do três, os números podem também ter uma representação superficial. De fato o três pode ser imaginado como um terno de pontos dispostos nos vértices de um triângulo equilátero (número triangular). Assim, considerada a unidade como potencialmente triangular e o três como segundo número triangular, pode-se obter uma série ilimitada de sucessivos números triangulares mediante o desenvolvimento de um triângulo equilátero a partir de um de seus vértices. Aritmeticamente, escrita numa primeira linha a sucessão dos números lineares, pode-se deduzir a sucessão dos triangulares escrevendo a unidade sob a unidade e, sucessivamente, obter o triangular sucessivo como soma do triangular que o precede com o correspondente linear na mesma coluna na qual iremos escrever o novo triangular. Ou seja:

Existe uma maneira simples para verificar se um número qualquer é triangular? A resposta se encontra na fórmula em baixo onde P(3,n) representa o número a ser investigado, 3 significa que é um triangular de ordem n. Verificamos, por exemplo, se 15 é triangular e qual a ordem dele. Substituindo e desenvolvendo obtemos que n=5, ou seja é um triangular de ordem 5, e, com efeito, o 15 se encontra na quinta coluna da lista representada acima.

Inserindo na fórmula outro número que não seja triangular, por exemplo 20, obtemos n=5,844… ou seja um número decimal. Isso quer dizer que o número examinado não é triangular.

Em geral, cada número natural pode ser escrito como soma de, no máximo, três números triangulares (eventualmente repetidos); trata-se de uma propriedade descoberta por Gauss, e é um caso particular do teorema de Fermat sobre os números poligonais.

Virtualmente existem infinitos números poligonais construídos a partir do triângulo, do quadrado, do pentágono, hexágono, e assim por diante. Do ponto de vista algébrico, todos podem ser representados por meio da expressão P(l,n), onde P significa número poligonal, l é o número dos lados do polígono e n a ordem. Em consideração da importância especial dos números pentagonais, é aqui transcrita a fórmula que permite verificar rapidamente se um determinado número é pentagonal e a ordem dele.

O leitor poderá imediatamente constatar que, por exemplo, os números 35 e 70 são pentagonais respectivamente de ordem 5 e 7. Uma relação bonita entre o 5° pentagonal e o 7° quadrado, na qual se evidencia uma ulterior ligação entre os números quatro, cinco e sete, é a seguinte:

A partir do quatro os números admitem também uma representação espacial. Temos assim os números tetraédricos, piramidais, cúbicos, etc. É fácil observar como para delimitar um segmento de reta são necessários dois pontos, enquanto para delimitar uma porção de plano precisamos, no mínimo, de três pontos. Analogamente o número mínimo de planos ocorrentes para delimitar uma porção de espaço é quatro. O sólido formado pela interseção de quatro planos é o tetraedro e, como nesse poliedro existem quatro vértices, apenas quatro pontos (tétrade) são necessários e suficientes para defini-lo univocamente. Segundo Platão o tetraedro é a última partícula que constitui os corpos: o átomo da Natureza.

Em síntese, acrescentando uma unidade à unidade se passa do ponto à linha, delimitada por dois pontos; acrescentando a esses dois pontos um terceiro ponto se passa ao plano definido pelo triângulo. Enfim, acrescentando mais uma unidade se passa ao espaço mediante o tetraedro e nessa altura o processo pára, pois não faz sentido acrescentar mais um ponto fora do tetraedro. O conjunto formado pela mônade, díade, tríade e tétrade compreende tudo: o ponto, a linha, a superfície e o espaço. De consequência, no pensamento filosófico pitagórico a “tetraktys” (grupo de quatro) dos números 1, 2, 3 e 4 é perfeita porque compreende todos os aspectos do universo material sólido. Sobre essa tetraktys os pitagóricos prestavam juramento com essas palavras: “Eu juro por aquele que transmitiu à nossa alma a tetraktys, na qual se encontram a fonte e a raiz da eterna natureza“.

Como a soma 1 + 2 + 3 + 4 = 10, obviamente dez é um número perfeito. A perfeição, ou seja, o completamento da manifestação universal, é portanto alcançada com o número 10. A década, que corresponde ao quarto número triangular, contém tudo, da mesma forma que a mônade contém potencialmente tudo. A representação geométrica do quarto número triangular é a seguinte:

Essa reprodução da tetraktys é um verdadeiro símbolo enquanto representa contemporaneamente um triângulo equilátero (o mais perfeito dos triângulos) e dez pontos dispostos em quatro linhas contendo respectivamente a mônade, a díade, a tríade e a tétrade. Uma outra importante relação entre o dez e o quatro é que a quarta letra do alfabeto grego, (delta), é justamente a inicial da palavra grega decas (década) e tem a forma de um triângulo equilátero. Sem dúvida, porém, a evidência mais impressionante do caráter globalmente simbólico da tectraktys decorre da relação entre quatro e dez estabelecida pela física moderna. Efetivamente, embora o comportamento macroscópico do universo seja totalmente descrito por um sistema de referência espaço-temporal caracterizado por quatro dimensões (x, y, z, t) , as mais recentes teorias sobre a estrutura submicroscópica da matéria (superstring theories) necessitam de um espaço constituído de dez dimensões . Observamos, enfim, que também para os modelos de supercordas com número de dimensões maior de dez, as dimensões podem ser compactadas a partir do modelo em seis dimensões proposto por Calabi-Yau. Lembramos que o seis é um número triangular.

O símbolo pitagórico da tetraktys, na sua forma esquemática triangular, já existia no santuário de Delpho mais de 2500 anos atrás e coincide manifestamente com o Delta maçônico. Ocasionalmente o Delta tem sido interpretado como um símbolo da Trindade, mas, como observou o ilustre esoterista italiano Arturo Reghini , o caráter esotérico do Delta pitagórico-maçônico nada tem a ver com o cristianismo, sendo a tetraktys um símbolo inegavelmente pagão.

NÚMEROS E ESOTERISMO – PARTE II: OS NÚMEROS SINTÉTICOS 

A Maçonaria, com sua iniciação cerimonial, pode ser considerada uma corporação especializada na arquitetura sagrada onde elementos pitagóricos estão intimamente ligados ao simbolismo típico do trabalho maçônico: esquadro, compasso, perpendicular, etc. Consequentemente, a compreensão dos números sagrados à Maçonaria se torna mais fácil na medida em que são compreendidos os números pitagóricos. Tal estudo tem que ser realizado não apenas do ponto de vista aritmético ordinário, mas também do ponto de vista da aritmética simbólica (ou aritmética formal), correspondente à função filosófica e espiritual que Platão atribuía à geometria. Ambos os sentidos estão intimamente conexos no desenvolvimento da antiga aritmética pitagórica e por isso torna-se essencial analisar o significado dos números da década. 

A unidade (mônade) é representada graficamente por um ponto como o yodh hebraico cursivo no tetragrama IHWH (yodh hé waw hé) que literalmente significa: “Eu sou aquele que sou”. No um são concentradas todas as potencialidades do ser e todas as cosmogonias explicam a criação do universo a partir do um cuja explosão cria o espaço-tempo e as demais dimensões do cosmo. Por sua vez a mônade, ou Unidade, tem a capacidade de gerar (e não de criar) a díade, cujo aparecimento é apenas uma alteração, mais aparente que real, da Unidade, proveniente de uma distinção que a mônade opera sobre si mesma.

Os pitagóricos ensinavam que a díade era gerada mediante um processo de cisão, ou diferenciação, da Unidade; um processo que, no pensamento moderno, pode ser comparado ao de divisão celular ou até à fissão nuclear. Na Cabala, dois é o Sefirot Chokmah (a sabedoria) e é um principio feminino. Nos monumentos sagrados do antigo Egito duas colunas principais, representando respectivamente os Reinos do Norte e do Sul, simbolizavam a estabilidade política e espiritual de toda a nação. O Rei Salomão mandou que o arquiteto Hiram Abiff erguesse duas colunas de bronze (Jakim e Boaz) diante do templo de Jerusalém. Na tradição maçônica a unificação dessas duas colunas, que sempre aparecem nas lojas, é símbolo de solidez . O três representa a síntese entre a mônade e a díade: se assiste assim à manifestação (ou epifania) da mônade no mundo superficial em forma de trindade, entidade sagrada cuja perfeição torna-se ainda mais evidente no momento em que ela é representada em forma de um triângulo equilátero. Os Celtas representavam a divindade mediante três raios correspondentes a três sons pronunciados simultaneamente e toda a filosofia daquele antigo povo podia ser resumida em três séries de 3 x 3 x 3 tríades chamadas Tríades dos Bardos. Essencialmente, em todas as religiões do mundo as energias formadoras do universo atuam em conjunto de três e, obviamente, os “três pontos” maçônicos tiveram origem nessa cosmogonia numeral. As partículas elementares contidas no núcleo atômico, próton e nêutron, são, por sua vez, compostas por três quarks.

Enquanto o três só pode ser logrado somando a mônade com a díade, os números 4, 6, 8 e 9 podem ser obtidos por multiplicação e por isso são chamados de números sintéticos.

O quatro era considerado um número perfeito não apenas pelo fato de ser o último número da tetraktys e simbolizar o tetraedro, mas principalmente por ser ele um quadrado algébrico (2 x 2). O quatro é também o único número da década a ser um número sintético e, ao mesmo tempo, fator de outro número da década (2 x 4 = 8). Pitágoras distinguia quatro aspectos do espírito: Hile, Psique, Nous e Agaton, e a Cabala descreve quatro mundos nos quais se inscrevem os dez Sefirot: o mundo da emanação, o da criação, o da formação e o da ação. Na Física as leis que governam completamente a interação eletromagnética são contidas nas quatro equações de Maxwell. O DNA é formado pela repetição de quatro nucleotídeos (guanina, adenina, timina e citosina).

O seis resulta da multiplicação da díade (princípio feminino) com a tríade (princípio masculino) e, por tal motivo, era o número consagrado a Afrodite (deusa do amor) e o símbolo da vida orgânica. Nesse sentido constatamos uma coincidência surpreendente com o carbono (número atômico = 6), único elemento cujas características químicas permitem a existência da vida orgânica no universo. Os pitagóricos dividiam os números em três categorias: os números elípticos (menores que a soma de seus divisores), os números hiperbólicos (maiores que a soma dos divisores) e os números matematicamente perfeitos iguais à soma de seus divisores. O seis não só é perfeito nesse sentido (1 + 2 + 3 = 1 x 2 x 3), mas é o único número cujos fatores são números consecutivos. O seis é geralmente simbolizado pelo “Selo de Salomão”, que é um dos símbolos mais conhecidos do esoterismo.

O terceiro número da década que é obtido mediante multiplicação é o oito. Sendo um número cúbico (2 x 2 x 2) era considerado perfeito mesmo sendo par, pois os números cúbicos crescem conservando a regularidade da forma. Na cosmogonia chinesa o mundo é criado e regido por oito trigramas fundamentais dispostos simetricamente em volta de um Taijitu, uma díade simbolizando a união dos princípios antagônicos yin e yang. Na doutrina dos antigos Druidas o iniciado tinha que passar por oito estados de consciência antes de chegar à libertação espiritual . Observamos enfim que a maioria dos batistérios tem planta octogonal e que o oito em posição horizontal é encontrado na Corda Maçônica.

Quanto ao nove, sendo ele o quadrado de um número perfeito é duplamente perfeito. Na Maçonaria o nove tem uma importância peculiar na determinação das idades iniciáticas dos vários graus do Rito Escocês como, por exemplo, na lenda da morte e ressurreição de Hiram Abiff. Isso se justifica se consideramos que o nove é o primeiro número quadrado ímpar e que ele pode ser dividido em três tríades que, por sua vez, se dividem em três Unidades. Na mitologia clássica, nove são as Musas, filhas de Zeus e Mnemósine. De acordo com Aristóteles, todas as criaturas espirituais são divididas em três principados, cada qual composto de três ordens. Portanto o conceito cristão dos nove céus não pertence unicamente à tradição judaica, e sim à concepção metafísica pagã e, mais precisamente, àquela pitagórica.

Observamos que os quatro números sintéticos (4, 6, 8, 9) formam, por sua vez, uma nova tetraktys cuja soma dá como resultado 27, isto é o cubo de três. Então, também o 27 deve ser um número perfeito. Quanto aos números cinco e sete, eles serão tratados posteriormente.

O nove é o último dos números monádicos, ou seja composto de um só dígito, e como tal encerra a série dos números pitagóricos, sendo o dez a nova Unidade. Por essa razão o pitagórico Nicômaco de Gerasa afirmava: “O número dez é o mais perfeito dos números possíveis… A década é o Todo pois ela serviu de medida para o Todo, como um esquadro e um nível nas mãos do Ordenador”.

O dez é o quarto número triangular, símbolo da tetraktys pitagórica: enquanto os quatro primeiros números são o resumo final de toda a cosmologia numeral, o dez simboliza o retorno à Unidade depois de um ciclo completo de criação. Para Dante Alighieri o décimo céu é o empíreo, ou esfera do fogo, onde se encontra a Cidade Santa. Mas enquanto os nove céus inferiores são animados de moto rotatório que transmite ao cosmo a fluência do tempo, o décimo permanece imóvel, num eterno presente sem passado nem futuro. Para Pitágoras o cosmo era envolvido pela esfera do tempo, ou periekon, e Arquitas afirmava que além do periekon existia uma esfera caracterizada por um tipo diferente de tempo que ele chamava de tempo psíquico. Na Divina Comédia, Dante mostra como, passando da consciência humana à consciência divina (localizada no décimo céu) se torna possível a conexão entre o tempo físico e o tempo psíquico. Nesse tempo psíquico o princípio e o fim se reúnem garantindo assim a solução do problema da mortalidade física dos seres humanos.

Ninguém sabe exatamente o que existe além dos extremos limites do universo, mas a cosmologia moderna nos oferece uma visão extremamente sugestiva. Cerca de 13,8 bilhões de anos atrás, uma explosão primordial (Big Bang) deu origem não apenas ao mundo material como também ao cenário onde o cosmo está mergulhado, os seja o espaço-tempo. Desde o instante inicial do Big Bang o espaço-tempo tem se propagado com a velocidade da luz uniformemente em todas as direções fazendo com que o universo ocupe agora um volume imenso, mas limitado, embora ainda em expansão. É claro, então, que além dos limites do universo sempre se encontrará algo de indefinível, mas que não é espaço vazio, pois o espaço-tempo ainda não chegou lá. Nessa região, que envolve totalmente o cosmo, o tempo não transcorre porque lá ele não existe. Assim, a visão cosmológica dos antigos pitagóricos apresenta, pelo menos na questão do tempo, uma considerável analogia com a estrutura do universo proposta pelos cientistas modernos.

NÚMEROS E ESOTERISMO – PARTE III: A ESTRELA FLAMEJANTE

A divisão de uma circunferência em 2, 3, 4, 6 ou 8 partes iguais e o problema da inscrição nela de polígonos regulares de 3, 4, 6 ou 8 lados não apresentava dificuldades para os matemáticos da Grécia antiga. Mais difícil era o problema da divisão da circunferência em 5 ou 10 partes iguais. Essa questão geométrica foi enfrentada com sucesso por Pitágoras que chegou à construção do pentágono e do decágono regulares inscritos numa circunferência. A solução desse problema envolve, porém, um número incomensurável (a raiz quadrada de cinco), ou seja um número inconhecível pelas vias puramente racionais (simbolizadas pelo esquadro), mas perceptível pela intuição (simbolizada pelo compasso).

Esse número irracional está também envolvido com a secção de ouro de um segmento na forma seguinte: dado um segmento de comprimento a , chama-se secção de ouro (ou secção divina) aquela parte de a (digamos so) tal que a área do quadrado cujo lado é so, é igual à área do retângulo cujos lados são respectivamente a e (a – so). Na prática (so)² = a (a – so) e, portanto:

Se a = 1, então so = 1,6180…

A Natureza sabe utilizar espontaneamente a secção de ouro. Por exemplo, a disposição das folhas em torno de um caule, para que sejam expostas ao sol ao máximo possível, está matematicamente ligada à secção divina. O mesmo vale para certas conchas, assim como por um certo número de galáxias, sem contar que quase toda a arte antiga (templos, pirâmides, etc.) foi erigida segundo as proporções da secção de ouro. A seção de ouro é particularmente importante na composição de alguns fractais como no caso da “árvore de Barnsley”.

Mas, voltando ao assunto, Pitágoras demonstrou que o lado do decágono inscrito numa circunferência de raio unitário nada é se não a secção de ouro do raio. Na figura em baixo, os segmentos KL=LM=MN=NO=OK são todos seção de ouro do diâmetro da circunferência.

Assim os pontos K, L, M, N, O dividem a circunferência em cinco partes iguais e os segmentos verdes mostram o pentágono inscrito. Agora, se em vez de juntar o ponto K com os sucessivos L, M, etc. se junta K com o terceiro ponto da divisão (M), e este com o quinto (O), e assim por diante, se obtém um pentagrama regular (em amarelo) inscrito na circunferência e no pentágono. Essa figura geométrica é de extrema importância no simbolismo maçônico onde é chamada de Estrela Flamejante.

As razões pelas quais o pentagrama, ou pentáculo, foi escolhido pelos adeptos do sodalício pitagórico não eram todas de natureza geométrica. Por outro lado, as propriedades geométricas do pentáculo eram tão numerosas, simples e bonitas que a admiração suscitada nos pitagóricos justificou a escolha do pentagrama como símbolo da Escola Itálica e signo de reconhecimento entre os membros da Ordem.

Por outro lado é fácil demonstrar que os triângulos KMN, LNO, MOK, NKL, e OLM são todos isósceles e que os lados do pentágono são secção de ouro dos lados KM, NL, etc. do pentagrama. Também pode-se verificar que o lado KM do pentagrama é dividido em outros dois pontos p e q, tais que os segmentos Kq=Mp são secção de ouro do lado mesmo. Isso vale, obviamente, para todos os cinco lados do pentáculo.

Existem mais seis triângulos isósceles (LpM, NtO, etc.) cujas bases são secção de ouro dos lados maiores. Também as cinco pontas da estrela são iguais e Kp é secção de ouro de Mp.

Ainda mais surpreendente é constatar que os lados do pentagrama determinam um segundo pentágono regular cujos vértices (p, q, r, s, t) são também os vértices de um segundo pentagrama invertido (em vermelho na figura). Os lados desse pentágono menor são, por sua vez, secção de ouro dos lados do pentágono maior (em verde) e os lados da estrela menor (vermelha) são secção de ouro dos lados da estrela maior (amarela). O pentagrama menor determina, por sua vez, um terceiro pentágono (ao centro da estrela vermelha) que contem uma terceira estrela (não representada na figura) a qual contem um quarto pentágono, e assim por diante até o infinito.

Em síntese, o pentáculo, expressão geométrica do número cinco, pode ser construído a partir da secção de ouro, com a ajuda apenas do esquadro e do compasso. Esses instrumentos são os prolongamentos exteriores de uma faculdade interior: a medida, que é a capacidade típica dos seres humanos de conhecer seus próprios limites, assim como os limites do mundo exterior para ser, eventualmente, capaz de ultrapassá-los. Em seu grafismo, o pentagrama simboliza também a união do princípio masculino com o princípio feminino em uma entidade única. Ele é portanto a imagem do andrógino, que é o ser humano perfeito das origens.

NÚMEROS E ESOTERISMO – PARTE IV: OS NÚMEROS POLIGONAIS

Os pitagóricos, colocando pontos em correspondência dos vértices de polígonos regulares, não descobriram apenas os números triangulares pois, existindo polígonos virtualmente com um número ilimitado de lados, existem também infinitos números poligonais (quadrados, pentagonais, hexagonais, octogonais, etc.). Todavia apenas os triangulares e os quadrados permitem o preenchimento uniforme e completo de um plano. Os números poligonais, assim como os números lineares, podem ser reagrupados em pares e ímpares sendo que para os pitagóricos o princípio feminino e o lado esquerdo eram pares enquanto o princípio masculino e o lado direito eram ímpares. Consequentemente a metafísica pitagórica tinha uma veneração particular para os números ímpares da mesma forma que a Maçonaria reconhece um caráter divino a esses números. De alguma forma a perfeição dos números triangulares, sejam eles pares ou ímpares, era assegurada pela relação que decorre entre eles e o triângulo equilátero, símbolo da tetraktys e da perfeição divina.

Quanto aos números quadrados, se por um lado é imediato reconhecer que são alternativamente pares e ímpares (1, 4, 9, 16, 25, …), por outro observamos que eles possuem propriedades extremamente significativas:

a) Traçando uma paralela r à diagonal de um quadrado, ela o divide em dois triângulos consecutivos. Portanto a soma de dois triangulares sucessivos é igual a um número quadrado. Por exemplo, o número quadrado 9 decorre da soma dos dois triangulares 3 e 6.

b) Qualquer número quadrado pode ser obtido acrescentando ao número anterior um esquadro composto de uma quantidade ímpares de pontos. No exemplo seguinte, acrescentando ao número quadrado 4 um esquadro de 5 pontos obtemos o número quadrado 9.

O esquadro é um dos símbolos fundamentais não só da Maçonaria como também do Hermetismo. Isso é comprovado pela existência de um importante texto hermético, publicado em 1618, cujo frontispício apresenta junto a um símbolo hermético (o Rebis) um esquadro e um compasso. As analogias entre a Maçonaria e o Hermetismo não podem ser consideradas casuais devido às duas Instituições terem a mesma finalidade, ou seja a grande obra de transmutação dos seres humanos. Essa grande obra nada era se não a Arte Sagrada da edificação espiritual onde o “desbaste da pedra bruta” do indivíduo tinha uma profunda analogia com os cânones da arquitetura sagrada. Destarte, os instrumentos maçônicos (esquadro, compasso, etc.) tinham e ainda tem um valor puramente simbólico sendo que à Arte Sagrada correspondia o segredo arquitetônico dos construtores das grandes catedrais medievais.

De regra os números triangulares são diferentes dos quadrados, mas o 36 é o primeiro número linear a ser contemporaneamente triangular e quadrado; além disso o 36 representa o valor da tetraktys de Plutarco composta mediante os primeiros quatro números ímpares e os primeiros quatro números pares da década, ou seja:

(1 + 2) + (3 + 4) + (5 + 6) + (7 + 8) = 36

Na sequência dos números lineares qualquer um pode verificar que o único terno de números consecutivos onde a soma dos primeiros dois é igual ao terceiro é 1, 2, 3. Pitágoras, fascinado pela característica desse terno que, como já vimos, simboliza a epifania da divindade no âmbito dos números lineares (monodimensionais), procurou uma propriedade análoga nos números poligonais (bidimensionais ou superficiais). Ele demonstrou que entre todos os polígonos apenas os quadrados permitem a solução desse problema cujo resultado é constituído pelo terno 3, 4, 5 ou seja 3²+4² = 5² (teorema de Pitágoras). Os números desse terno são também os comprimentos dos lados do triângulo egípcio que é o mais simples dos triângulos retângulos cujos lados são números inteiros. O triângulo egípcio se apresenta, portanto, como a manifestação da epifania no campo dos números poligonais: nesse âmbito o número cinco, representado pelo pentagrama (ou Estrela Flamejante), toma o canto do número três, representado pelo Delta Maçônico.

Observamos, inclusive, que, como demonstrado pelo brilhante matemático britânico Andrew Wiles em 1993, a equação:

não apresenta soluções por n>2 (ipótese de Fermat).

O cinco está relacionado com a secção de ouro, com o pentágono e o pentáculo, e não existem senão cinco poliedros regulares convexos (tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro). Na tetraktys pitagórica, enquanto nove pontos estão colocados nas bordas da figura, só um, o cinco, fica bem no centro do Delta reforçando assim o caráter sagrado desse número. Na Cabala, o quinto Sefirot é Geburah que simboliza a força e o poder. Para os antigos Celtas a terra era constituída de cinco elementos: Kalas, matéria dura; Gwyar, matéria úmida; Fun, matéria gasosa; Ufel, matéria ignea; Nwyvre, matéria etérea [2]. Na especulação gnóstica, as “cinco árvores do Paraíso” representam as cinco entidades superiores primigênias que frutificam no Paraíso (Espírito, Pensamento, Reflexão, Intelecto e Razão).

Na teoria dos números, a função zeta de Riemann reveste um papel fundamental. Sabe-se que particulares coeficientes dessa função geram uma sequência de números inteiros [7]. Os três primeiros números da série são: 1, 2 e 42. É interessante observar que 42 nada é se não o terceiro número poligonal com base 15. Em fórmulas:

P(15,3) = 42

NÚMEROS E ESOTERISMO – PARTE V: OS NÚMEROS SÓLIDOS

Continuando com o processo enunciado no capítulo anterior, os pitagóricos descobriram os números sólidos. Os mais simples e, ao mesmo tempo, os mais importantes são os números piramidais, assim chamados por causa da forma: uma pirâmide com base triangular, quadrada, pentagonal, hexagonal, etc. Os piramidais com base triangular são também chamados de números tetraédricos e a figura seguinte representa o número quatro, tetraédrico de ordem dois, sendo que o primeiro, de ordem um, é a própria unidade.

Os neopitagóricos de Platão consideravam o tetraedro a partícula elementar da matéria e a química moderna nos ensina que, embora os átomos e as moléculas não tenham essa forma, a substância mais dura de todas é o diamante, cujas moléculas são formadas por quatro átomos de carbono dispostos nos vértices de um tetraedro. Também o metano, o mais simples dos hidrocarbonetos tem uma forma tetraédrica, e cada molécula de água sólida se junta às outras por meio de pontes de hidrogênio numa configuração teraédrica.

Observamos agora que, sem considerar a unidade, dez é o primeiro número a ser contemporaneamente linear, triangular e tetraédrico, razão pela qual ele se tornava ainda mais perfeito aos olhos dos pitagóricos. A matemática moderna só conhece quatro números que são contemporaneamente lineares, triangulares e tetraédricos. Eles são: 10, 120, 1540 e 7140, todos múltiplos inteiros de 10. Mais uma relação entre o 4 e o 10.

A fórmula geral dos números piramidais apareceu, pela primeira vez, no Codex Arcerianus, um código romano do ano 450 d.C. e o estudo dessa fórmula evidencia algumas propriedades exclusivas desses números. Em primeiro lugar observa-se que qualquer piramidal de ordem cinco é divisível por 5, enquanto os piramidais de ordem sete são divisíveis por 7 e por 28. Por sua vez o 28 é um número matematicamente perfeito, sendo ele igual à soma de seus divisores. Os pitagóricos tinham uma autêntica veneração por esse múltiplo do sete, tanto é que na basílica pitagórica subterrânea de Porta Maggiore em Roma, foram encontradas 28 lajes funerárias, tantas quantos os componentes daquela antiga confraria. Na Antiguidade só se conheciam quatro números perfeitos: 6, 28, 496, e 8128 que, por sinal, são todos triangulares respectivamente de ordem 3, 7, 31 e 127. Em segundo lugar demonstra-se que todos os piramidais de ordem quatro são múltiplos inteiros de 10, propriedade essa que reforça, mais uma vez, a relação entre o 4 e o 10.

Quanto aos piramidais com base quadrada, embora não apresentassem propriedades diferentes dos outros piramidais, gozavam outrossim de uma consideração particular devido eles terem a forma das pirâmides do Egito, terra onde Pitágoras aprendeu noções importantes de geometria esotérica. Na figura sucessiva é representado o segundo número piramidal, ou seja de ordem dois, com base quadrada.

O problema de encontrar três números sólidos consecutivos onde o terceiro consta da soma do primeiro com o segundo também pode ser enfrentado e resolvido. Demonstra-se que a única solução é a seguinte: 175 + 301 = 476 que representam respectivamente os números piramidais (com base decagonal) de ordem 5, 6 e 7. Destarte, como o terno 3, 4 e 5 resolvia o problema no plano mediante o triângulo egípcio, o terno 5, 6 e 7 resolve o mesmo problema no espaço mediante os números piramidais. Desta forma, a epifania da divindade se torna completa no mundo material em virtude do número sete. Ademais, os números 175, 301 e 476 são todos múltiplos de 7.

Em síntese, os três primeiros números ímpares da década (3, 5 e 7) representam a única solução do mesmo problema respectivamente para os números lineares, superficiais e sólidos.

Em virtude do fato que, em princípio, também os números lineares podem ser considerados números poligonais de lado um, ou seja: P(1,1)=1; P(1,2)=2; … P(1,n)=n e que, por simplicidade, os números piramidais podem ser representados com o símbolo F(l,n) onde l é o n° dos lados do polígono situado na base do sólido e n é a ordem, tudo o que acabou de ser explicado em palavras, pode ser resumido com as equações seguintes:

P(1,1) + P(1,2) = P(1,3)

(solução para os números lineares – uma dimensão)

P(4,3) + P(4,3) = P(4,5)

(solução para os números poligonais – duas dimensões)

F(10,5) + F(10,6) = F(10,7)

(solução para os números sólidos – três dimensões)

Na Maçonaria, o três é o número de lados do Delta luminoso e o número do aprendiz; o cinco é o número da Estrela flamejante e do companheiro; o sete é o número da sapiência e do mestre livre pedreiro. Também para os pitagóricos o sete simbolizava a sapiência. Isso se deve ao fato dele ser o único número primo (isto é não gerado) que ao mesmo tempo não é fator (ou seja gerador) de outros números dentro da década. Essas características o assimilam a Minerva, deusa virgem da sapiência, que nunca foi parida, mas que saiu já armada de lança e escudo diretamente do cérebro de Júpiter.

Sete são as notas musicais, sete os véus que ocultavam a deusa Ísis, e na Cabala o sétimo Sefirot é Netzach, a vitória ligada à natureza e ao amor: ele simboliza o triunfo do iniciado, ao fim de sua busca.

Hoje sabemos que todas as reações entre as partículas elementares da física moderna se fundamentam sobre o princípio de conservação de sete grandezas: energia (incluída a massa), momento linear, momento angular, carga elétrica, número leptônico, número muônico, número bariônico.

O estudo dos números sólidos não piramidais, obtidos colocando pontos nos vértices dos poliedros regulares (números cúbicos, octaédricos, dodecaédricos, icosaédricos), se torna relativamente complicado do ponto de vista matemático. Contudo, é útil lembrar que qualquer um desses números pode ser expresso como soma de números tetraédricos, os tijolos do mundo material na metafísica pitagórica e platônica. Os números dodecaédricos tinham chamado particularmente a atenção dos pitagóricos devido ser o dodecaedro o símbolo do universo sólido.

De fato o dodecaédro possui 12 faces pentagonais (que representam tanto os meses do ano como os 12 signos do Zodíaco) e em cada uma dessas faces pode ser inscrito um pentáculo regular. Outras numerosas propriedades geométricas desse sólido, em boa parte ligadas à secção de ouro, refletem a ordem e a harmonia do cosmo, justificando em pleno sua escolha como símbolo do universo. Nós modernos só podemos aprovar e louvar a opção dos antigos pitagóricos pois a física das altas energias comprovou que qualquer forma de matéria (com massa > 0) é constituída por 12 diferentes tipos de partículas elementares, exatamente tantas quantas as faces do dodecaédro.

Também, o menor dos fulerenos (C20) é dodecaédrico.

TABELA

Embora na Wikipedia apareça uma tabela de números poligonais até P(30,13), na intenção de facilitar a compreensão dessa monografia segue uma tabela contendo todos os números piramidais até F(7,12), os primeiros números octogonais até Oc(11), os icosaédricos e os dodecaédricos até Ic(7) e Do(7).

APÊNDICE I – OS NÚMEROS MÁGICOS

Na Física nuclear, um “número mágico” é um número de núcleons (prótons e/ou nêutrons) em correspondência do qual os núcleos atômicos mostram uma estabilidade particular. Esses números são: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 e 34. São todos números pitagóricos, ou seja:

P(1,2), F(7,2), F(3,4), P(6,4), F(6,4), F(21,3), F(5,6) e P(4,6)

O leitor repare que 126=F(5,6)=P(10,6) ou seja, o 6° piramidal com base pentagonal é idêntico ao 6° número poligonal decagonal.

Existem muitas relações entre os números triangulares e os tetraédricos. Uma que achei particularmente bonita é a seguinte: F(3,82) = 28 P(3,82).

APÊNDICE II– A CONSTANTE DE ESTRUTURA FINAa

É a constante física () que caracteriza a magnitude da força eletromagnética e é de grande importância na teoria do princípio antrópico. Realmente, este parâmetro adimensional tem uma influência fundamental sobre o universo. Se o seu valor fosse diferente, mesmo que ligeiramente (cerca de 10-20%) do valor conhecido, o universo seria diferente de como nós o vemos e nele não haveria alguma forma de vida. O valor exato de -1 é 137,035999… Do ponto de vita pitagórico pode ser arredonadado a 137 cometendo um erro de apenas 0,26%, diferença que não vai mudar as características fundamentais do Universo. O número 137 pode ser decomposto da forma seguinte:

137 = 6+20+27+84 = P(3,3) + F(3,4) + P(10,3) + Do(3)

Todos números pitagóricos que podem chegar a constituir uma nova “Tetraktys de Estrutura Fina” assim definida:

(6, 20, 27, 84)

Seis, 20, 27 e 84 são todos números Harshad, ou seja divisíveis pela soma de seus dígitos (em base 10). O 6 é número Harshad em qualquer base e, portanto, é número Harshad completo.

Prof. Dr. Alberto Malanca
Parma, Itália


BIBLIOGRAFIA:

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F.X. Chaboche. “Vida e Mistério dos Números” Hemus Editora, São Paulo (2005).

M. Chown. New Scientist, 24 October 1998, pp. 29-32.

C. Knight, R. Lomas. “La Chiave di Hiram” Mondadori, Milano, (1997).

A.L. Lehninger. “Biochemistry” Worth Publishers, Inc., New York (1972).

J. Gleick. “Caos” – RCS Libri S.p.A., Milano (1997)

• M. Du Sautoy. “L’Enigma dei Numeri Primi” RCS Libri S.p.A., Milano (2004).
• I Vangeli Apocrifi Giulio Einaudi editore, Torino (1990).
• K. Ford. “The world of elementary particles” Blaisdell Publishing Company (1963).